Stacionární elektrické pole je tvořeno zejména nepohybujícími se elektrickými náboji. Existují dvě základní formy tohoto pole. První z nich je pole vytvořené nabitými elektrodami (elektrodou) umístěnými v nevodivém prostředí, kterým neteče žádný elektrický proud. Toto pole se nazývá elektrostatické pole. Umístíme-li tyto elektrody do vodivého prostředí, začne téci proud a náboje se navzájem vyrovnají. Abychom udrželi i nadále konstantní rozdíl potenciálu mezi elektrodami, musíme k nim připojit zdroj napětí, který napětí mezi elektrodami udržuje konstantní a umožňuje průtok stejnosměrného proudu vodivým prostředí. Proud vodivým prostředím teče díky elektrickému poli. Toto pole se nazývá stacionární pole. Plošná hustota proudu je svázána s intenzitou elektrického pole Ohmovým zákonem v diferenciálním tvaru.

Elektrostatické pole popisujeme rovnicemi, které jsou zjednodušením Maxwelových rovnic v integrálním tvaru, popř. Maxwelových rovnic v diferenciálním tvaru, pro případ časově neproměnného pole

,

(1)

,

(2)

,

(3)

.

(4)

Rovnice (1) se někdy nazývá zákon okružního napětí, rovnice (3) se někdy nazývá Gaussova věta.

Rovnice (3) a (4) nám říkají, že elektrostatické pole je pole zřídlové. Zdroji jsou elektrické náboje. Linie elektrického pole jsou čáry, které začínají v místě s kladným nábojem a končí v místě se záporným nábojem. Rovnice (1) a (2) říkají, že elektrostatické pole je pole potenciálové.

Elektrostatické pole splňuje rovnici (2). Z matematiky známe identitu rot . Porovnáním dostaneme

,

(5)

což je definice (skalárního) potenciálu elektrického pole. Jednotkou jsou V. Popis elektrického pole pomocí potenciálu není jednoznačný. Stejné pole je popsáno funkcí , ale i funkcí '=+k, kde k je konstanta. Operátor gradient, který je definován derivacemi, je roven nule pro konstantu. Tato konstanta musí být určena pomocí vhodné okrajové podmínky. Výhodou použití potenciálu je snadné sčítání skalárních hodnot, což se projeví zejména při řešení pole pomocí superpozice.

Potenciál je definován jako práce nutná pro přenesení jednotkového náboje z místa vztažného, kde je potenciál roven nule, do místa daného. Pomocí této definice lze odvodit vztah inversní k (5). Při pohybu náboje v elektrostatickém poli na něj působíme vnější silou , která má opačnou orientaci vůči síle elektrické. Práce vykonaná vnější sílou je

,

Porovnáním dostaneme

,

(6)

> což je inversní vztah k definičnímu vztahu pro potenciál. Z důvodu platnosti rovnice (1) integrál v (6) nezávisí na tvaru integrační dráhy, ale jen na potenciálu počátečního a koncového bodu. Důkaz 1 >>>.

Práci, kterou vykonáme přenesením náboje q z bodu A do bodu B, Obr. 1, lze vypočítat

Je tedy úměrná rozdílu potenciálů v koncovém a výchozím bodu. Napětí mezi těmito body je definováno jako práce, kterou vykoná pole přenesením jednotkového náboje

.

(7)

Příklad 1 >>>

,

(8)

.

.

(9)

Elektrické pole je excitováno elektrickým nábojem akumulovaným na elektrodách. Jak uvidíme později, rozložení elektrického pole závisí na tvaru elektrod a na rozložení náboje a na parametrech prostředí. V lineární prostředí je velikost intenzity a potenciálu v každém bodě úměrná velikosti náboje. Můžeme tedy napsat

Q=CU

,

(10)

Konstantu úměrnosti nazýváme kapacita C, jednotky jsou F. Z (10) plyne statická definice kapacity

,

(11)

Na elektrodách předpokládáme akumulovaný náboj Q, vypočteme rozložení elektrického pole a z něj napětí. Z (11) je patrné, že kapacita udává schopnost elektrod jímat elektrický náboj. Příklad výpočtu kapacity uvedeme později.

Energie elektrického pole akumulovaná v kondenzátoru nabitém na napětí U je (viz Důkaz 2 >>>)

,

(12)

Tato energie může být určena z diferenciálních veličin, tj. z rozložení vektorů pole, pomocí nichž vypočteme objemovou hustotu energie (viz Důkaz 3 >>>)

.

(13)

Celková energie nahromaděná v objemu V je dána integrálem

.

(14)

Síla působící na náboj v elektrickém poli je dána Lorenzovým vztahem

F=qE

,

(15)

Sílu působící mezi dvěma bodovými náboji známe z fyziky, je dána Coulombovým zákonem

,

(16)

kde r je vzdálenost nábojů a r₀ je jednotkový vektor ve směru této vzdálenosti.

Velikost síly působící na povrch nabitého tělesa lze vypočítat pomocí principu virtuální práce. Virtuální posuv elementu povrchu o ploše dS na vzdálenost dx změní objem, ve kterém se rozprostírá elektrické pole o velikost dV=dSdx. Tato změna vyvolá změnu energie elektrického pole o hodnotu dW=w_edV, která se rovná práci dA=dFdx, kterou je třeba vykonat pro posunutí povrchového elementu. Porovnáním dostáváme plošnou hustotu síly ve tvaru

.

(17)

Příklad 2 >>>

Vložíme-li dokonale vodivé těleso do prostoru, kde je vytvořeno elektrostatické pole, uvede toto pole volné elektrony ve vodiči do pohybu, dokud se nedosáhne rovnovážný stav, ve kterém bude vnější pole vykompenzováno polem vytvořeným posunutými elektrony. Náboje jsou rozloženy po povrchu vodiče, což odpovídá minimu energie soustavy. Výsledné pole ve vodiči je tedy nulové. Odpovídající potenciál je konstantní. Povrch vodiče tedy představuje ekvipotenciální plochu a linie elektrického pole z něj vystupují kolmo. Velikost intenzity elektrického pole na povrchu tělesa lze určit aplikací třetí Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru na uzavřenou plochu ve tvaru válečku podle Obr. 3, která obejme část povrchu vodiče s plochou dS. Výška tohoto válečku je zanedbatelná, můžeme tedy elektrický indukční tok tekoucí jeho pláštěm zanedbat. Podstava válečku je dostatečně malá, aby bylo možné intenzitu pole považovat na této podstavě za konstantu. Celkový tok prochází jen podstavou válečku. Lze tedy napsat

.

Porovnáním dostáváme vztah pro normálovou složku intenzity elektrického pole těsně na povrchu tělesa

.

(18)

Známe-li rozložení náboje, můžeme vždy vypočítat rozložení elektrického pole, které tento náboj vytváří. Předpoklad znalosti rozložení náboje však zpravidla nebývá v praktických úlohách splněn. K této problematice se ještě vrátíme.

Nejprve se podívejme na případ diskrétního rozložení náboje. Vyjdeme z Coulombova zákona (16). Budeme předpokládat, že náboj Q₁=Q vytváří elektrické pole a náboj Q₂=q je náboj měrný, kterým přítomnost pole zjišťujeme. Potom z rovnice (15) okamžitě dostáváme

.

(19)

Odpovídající rozložení potenciálu je

,

(20)

kde k je konstanta. Později uvidíme, že funkce (19) a (20) lze odvodit velice efektivně pomocí Gaussovy věty (3). Tyto výsledky platí i pro případ kulové vodivé elektrody nabité nábojem Q. Pole má kolovou symetrii a intenzita elektrického pole má konstantní velikost na libovolné kulové ploše se středem ve středu elektrody.

Máme-li více bodových nábojů, lze v případě lineárního prostředí použít princip superpozice. Pro dva bodové náboje je tento postup ukázán na Obr. 4. Intenzity elektrického pole musíme sčítat jako vektory. Zde je patrná výhoda ve využívání potenciálu, který lze jako skalární funkci sčítat mnohem jednodušeji.

V případě spojitého rozložení náboje je třeba postupovat následujícím postupem, viz. Obr. 5. Objem V, ve kterém máme rozložený náboj rozdělíme na elementární objemy dV, které jsou umístěny v bodech o souřadnicích (x´,y´,z´). Náboj obsažený v každém tomto objemu dV je . Tento náboj lze považovat za náboj bodový a jím vytvořené pole popsat vztahy (19) a (20). V bodě P o souřadnicích (x,y,z) vytváří pole

,

kde vzdálenost r je

.

Výsledná intenzita je součtem všech příspěvků vytvořených náboji všech objemových elementů v objem V. Součet přechází na integrál

.

(21)

Při integraci musíme uvážit měnící se směr vektoru r₀. Integrace musí být prováděna podle pravidel o sčítání vektorů. Vektor E musíme rozdělit do jednotlivých souřadnic a integrovat tyto souřadnice. Tento problém je odstraněn při použití potenciálu, pro který použijeme integrál

.

(22)

Následující vztahy použijeme, je-li náboj vytvářející elektrické pole umístěn na ploš S nebo na křivce c

,

(23)

,

(24)

,

(25)

.

(26)

Použití příslušného typu integrálu (21) až (26) vede vždy k výsledku. Postup výpočtu je však zpravidla značně obtížný. V některých speciálních případech, které vykazují vhodný typ symetrie, můžeme však postupovat mnohem efektivněji.

Velmi efektivním postupem pro výpočet rozložení elektrického pole je přímá integrace ve třetí Maxwellově rovnici v integrálním tvaru, která se někdy nazývá Gaussova věta. Abychom mohli jednoduše vypočítat plošný integrál na pravé straně rovnice (3), musíme být schopni odhadnout z dané symetrie rozložení náboje rozložení elektrického pole. Na základě této symetrie musíme být schopni najít takové uzavřené plochy, po nichž budeme integrovat, na nichž elektrické pole splňuje dvě podmínky:
1) vektor E je na celé ploše rovnoběžný s vektorem dS,
2) modul vektoru E je na celé ploše konstantní.

Za těchto předpokladů lze jednoduše vypočítat plošný integrál

.

Dosazením do (3) dostáváme výsledek

.

(27)

V případě bodového náboje jsou integračními plochami kulové plochy. Povrch koule je , a rovnice (27) se okamžitě transformuje na (19).

Rozložení pole vytvořené mezi nabitou elektrodou a rozlehlou vodivou plochou může být vypočteno pomocí metody zrcadlení. Použijeme zde pravidlo, které říká, že vodivé těleso ve tvaru ekvipotenciály vložené do elektrostatického pole nezmění rozložení pole. Je to dáno tím, že k povrchu vodiče je intenzita elektrického pole kolmá. Otočme tento problém a vyjděme z výsledného stavu, který je znázorněn na Obr. 6. Jedná se o rozložení elektrostatického pole mezi dvěma nabitými kulovými elektrodami. Toto rozložení se nezmění, vložíme-li do roviny symetrie dokonale vodivou plochu. Pole v levém poloprostoru se nezmění, vyplníme-li pravý poloprostor vodivým materiálem. Toto nám ukazuje způsob řešení původního problému, kdy jsme měli za úkol vypočítat rozložení pole mezi nabitou elektrodou a vodivou rovinou. Vliv vodivé roviny na rozložení elektrického pole se nahradí zrcadlovou elektrodou, která je nabita stejně velkým nábojem, ale s opačným znaménkem, než elektroda původní. Má stejný tvar a velikost a její vzdálenost od roviny je stejná. Obr. 7 ukazuje případ válcové nekonečně dlouhé elektrody umístěné na vzdálenost h od dokonale vodivé roviny. Rozložení elektrostatického pole vypočteme jako superpozici polí vytvořených původním válcem a jeho zrcadlovým obrazem.

Nebudeme se zabývat mikroskopickými vlastnostmi materiálů, neboť toto spadá do fyziky pevných látek. Pole uvnitř mikrostruktury látek je velmi komplikované a velmi rychle se mění s prostorovými souřadnicemi. Pro základní technickou praxi se spokojíme s makroskopickým popisem pole, který reprezentuje pole vystředěné v objemu látky.

Po vložení dielektrika do elektrického pole jsou elektrické náboje polem vysunuty ze svých rovnovážných poloh. Dielektrikum se tím polarizuje. Podle typu posouvaných částic rozlišujeme tři základní typy polarizace. Elektronová polarizace je způsobena posunem elektronů ze svých rovnovážných poloh, či přesněji deformací jejich drah. V případě iontové polarizace dochází k posuvu nabitých iontů. V materiálu, ve kterém existují i v rovnovážném stavu elektrické dipóly, může dojít vlivem vnějšího elektrického pole k jejich uspořádání, dochází tak k orientační polarizaci.

V každém případě dochází v látce vlivem elektrického pole vzájemným posuvem kladného a záporného náboje ke vzniku elektrických dipólů, Obr. 8. Tyto dipóly popisujeme dipólovým momentem p [C/m]

,

(28)

kde jednotkový vektor p₀ je orientován od záporného ke kladnému náboji. Náboj vytvořený polarizací nazýváme vázaný náboj, neboť jeho existence je spjata s látkou, nemůže existovat sám o sobě. Zároveň se vznikem vázaného náboje zmíníme pojem elektrické pevnosti látek. Posun nábojů, který je způsoben polarizací látky, je úměrný intenzitě vnějšího pole. Síla tohoto elektrického pole působí proti vazebním silám, které udržují nabité částice v jejich rovnovážných polohách. Při určité hodnotě intenzity elektrického pole, která se nazývá elektrická pevnost, elektrická síla převýší sílu vazební a dojde k vytržení nabitých částic z jejich rovnovážných poloh. Dochází k výboji, průrazu, který je doprovázen uvolněním značného množství energie a ke zničení prvku.

Pro popis stavu polarizovaného prostředí je třeba definovat vhodnou veličinu. Touto veličinou je vektor polarizace P [C/m²], který reprezentuje objemovou hustotu dipólového momentu v látce

,

(29)

kde člen reprezentuje součet všech dipólových momentů v objemu V.

Nyní můžeme vektoru polarizace přiřadit jeho zdroje, kterými jsou vázané náboje. Na povrchu dielektrika, kde máme vázaný náboj rozložený s plošnou hustotou _v, dostáváme (viz Důkaz 4 >>>)

.

(30)

Obecně podmínka na rozhraní dvou dielektrik má tvar

.

(31)

V objemu dielektrika, kde je vázaný náboj s objemovou hustotou _v dostáváme (viz Důkaz 5 >>>)

.

(32)

Budeme-li uvažovat časově proměnné pole, potom změny vázaného náboje vytvářejí polarizační proud I_p. Jeho velikost je spolu s plošnou hustotou

,

(33)

.

(34)

Tento proud je vázán s vázaným nábojem rovnicí kontinuity

.

(35)

Polarizační proud a vázané náboje musí být jako dodatečné zdroje elektromagnetického pole dodány do Maxwelových rovnic

,

(36)

.

(37)

.

(38)

Podle (38) má vektor za své zdroje jen volné náboje. Tento vektor nazýváme vektorem elektrické indukce D [C/m²]

.

(39)

Vektor elektrické indukce D je pomocným vektorem bez podstatného fyzikálního významu. Jeho použití zjednodušuje výpočet pole za přítomnosti různých dielektrik, neboť není nutné určovat rozložení vázaného náboje, který je vytvářen polarizací dielektrika. Za předpokladu, že posun nábojů je při procesu vytváření dipólů při polarizaci je úměrný E, lze psát

,

(40)

kde je elektrická susceptibilita. Dosazením (40) do (39) dostaneme

,

(41)

kde je relativní permitivita. Tato veličina popisuje schopnost látky polarizovat se v elektrickém poli. Určuje, kolikrát více je látka vlivem polarizace schopna absorbovat energie elektrického pole než vakuum.

Máme dvě možnosti, jak řešit elektrické pole za přítomnosti různých dielektrik. Je možné řešit rovnici (38), kdy ovšem je nutné vypočítat rozložení vázaného náboje. Řešíme však pole v homogenním prostředí s permitivitou ₀. Dosadíme-li do (38) za vektor indukce, dostáváme rovnici

.

(42)

V tomto případě je třeba uvažovat nehomogenní prostředí s různými permitivitami, ale zdroji pole jsou jen volné náboje.
Příklad 7 >>>

Maxwelovy rovnice v diferenciálním tvaru musí být doplněny vhodnými hraničními podmínkami, které předepisují chování vektorů pole na rozhraních různých dielektrik. Vektory pole se zde mohou měnit skokem, tj. nespojitě, a jejich derivace neexistují. Hraniční podmínky odvodíme z Maxwelových rovnic v integrálním tvaru, které platí i v přítomnosti rozhraní. Příklad takového rozhraní je na Obr. 9. Rozhraní mezi prostředím 1 a permitivitou ₁ a prostředím 2 s permitivitou ₂ je určeno jednotkovým vektorem normály n orientovaným z prostředí 2 do prostředí 1.

Rozhraní může v obecném případě obsahovat volný náboj s plošnou hustotou ₀, podmínka pro normálové složky má potom (viz důkaz 6 >>>) tvar

.

(43)

Analogická je podmínka pro vektor polarizace

.

(44)

Skalární součin určuje normálovou složku vektoru, (43) lze tedy zapsat

.

(45)

Pro rozhraní bez náboje máme

.

(46)

Normálové složky elektrické indukce se tedy v případě rozhraní mění spojitě, normálové složky intenzity elektrického pole jsou nespojité, jejich poměr je dán vztahem

.

(47)

Podmínka na rozhraní dvou materiálů s různými permitivitami pro tečné složky intenzity elektrického pole má obecný tvar (viz důkaz 7 >>>)

,

(48)

který lze přepsat do skalární formy

.

(49)

Tečné složky elektrické indukce splňují podmínku

.

(50)

Tečné a normálové složky vektorů pole se na rozhraní dvou různých dielektrik chovají různě. Z toho vyplývá, že linie těchto vektorů se budou na tomto rozhraní lámat podle Obr. 10. Z tohoto obrázku je patrné, že úhly, které vektor E s rozhraním svírá jsou svázány vztahem

.

.

(51)

V případě, že ₂>>₁, je tg ₁<<₂, a elektrické pole vystupuje z rozhraní kolmo. Povrch materiálu s vysokou permitivitou se tedy chová podobně jako povrch vodiče.

Z výsledků předcházejících příkladů je patrné, že intenzita elektrického pole je vyšší v oblastech s nižší permitivitou, kterými je v obou případech vrstva vyplněná vzduchem. Vzduch má však mnohem nižší elektrickou pevnost než pevná dielektrika. Tyto vrstvy jsou tedy nejslabším článkem prvku. Při vzrůstu napětí, bude nejprve dosažena hodnota elektrické pevnosti právě ve vzduchu a dojde k jeho průrazu. Při tomto procesu se uvolní značné množství tepla a vede k následnému zničení celého prvku. Při návrhu izolací, kondenzátorů, průchodek a jiných prvků je třeba věnovat velkou pozornost homogenitě dielektrika. Každá prasklina, či nehomogenita, vyplněná vzduchem představuje místo potenciálního průrazu.

Až doposud jsme studovali elektrostatické pole za předpokladu, že jsme znali rozložení elektrického náboje, který pole generuje. Tento problém je vždy řešitelný, např. použitím principu superpozice, tj. pomocí integrálních vztahů (21), (23) nebo (25). Výhodnější je ovšem použít odpovídající vztahy pro potenciál.

V mnoha praktických případech však rozložení náboje předem neznáme. Náboj vytváří elektrické pole, které však určuje rozložení náboje, viz rovnice (18). Obyčejně známe tvar elektrod a jejich potenciál, tedy okrajové podmínky určující rozložení potenciálu. Potřebuje tedy rovnici, jejímž řešením vypočteme rozložení potenciálu. Použijeme třetí Maxwelovu rovnici v diferenciálním tvaru (42), do které dosadíme z definičního vztahu pro potenciál elektrického pole (5)

.

V případě konstantní permitivity, pravá strana této rovnice dává Laplaceův operátor a dostáváme Poissonovu rovnici popisující rozložení elektrického potenciálu ve tvaru

.

(52)

.

(53)

Tyto rovnice jsou parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Musíme k nim přiřadit příslušné okrajové podmínky. Potenciál musí být všude spojitý. Potenciál musí mít konstantní hodnotu na povrchu vodičů. Předepsaná normálová složka intenzity elektrického pole na nějaké ploše předepisuje hodnotu derivace potenciálu podle vektoru normály n k této ploše

.

(54)

Podmínka pro normálové složky intenzity elektrického pole (47) dává podmínku pro potenciál

.

(55)

V případě elektrod konečných rozměrů musí mít potenciál konečnou hodnotu v nekonečnu.

V souvislosti s charakterem okrajových podmínek a oblasti, ve které pole řešíme, rozlišujeme typy úloh: Vnější úlohy, kdy řešíme pole v neomezené oblasti vně elektrod, které pole vytvářejí. Vnitřní úlohy, kdy řešíme pole v uzavřené oblasti. Dirichletova úloha odpovídá případu, kdy jsou zadány přímo hodnoty potenciálu na hranicích. Neumannova úloha odpovídá případu, kdy jsou zadány derivace potenciálu na hranicích.

Pro řešení Laplaceovy, popř. Poissonovy, rovnice můžeme použít analytickou nebo numerickou metodu. Použití analytických metod je jen velmi omezené pro jednoduché oblasti s jednoduchými okrajovými podmínkami. Ve většině reálných případů musíme použít vhodnou numerickou metodu.

Předpokládejme pole vytvořené soustavou rovnoběžných rovinných elektrod, které jsou kolmé na osu x. Pole je popsáno v tomto případě funkcí proměnné x =(x). Laplaceův operátor obsahuje jen derivaci podle proměnné x, řešíme tedy obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu

.

(56)

Integrací obou stran této rovnice dostaneme

.

Po druhém derivování dostáváme

.

.

Funkce f(x) a g(x) závisí na tvaru funkce ₀, která musí také záviset jen na proměnné x. Neznámé konstanty k₁ a k₂ je třeba určit pomocí dvou vhodných okrajových podmínek.

V případě válcově symetrického pole je třeba použít Laplaceův operátor ve válcové souřadnicové soustavě. Elektrické pole je v tomto případě tvořeno soustavou souosých válcových elektrod. Funkce =(r) závisí jen na vzdálenosti r od osy válců, kterou předpokládáme totožnou s osou z. Laplaceova rovnice má tvar

.

(57)

Po vynásobení proměnnou r a následné integraci máme

,

,

,

.

Konstanty k₁ a k₂ opět určíme pomocí dvou příslušných okrajových podmínek. Případ =(z) ve válcové souřadnicové soustavě je totožný s (57). Předvedeme si ještě úlohu, kdy potenciál závisí na proměnném úhlu =(). Laplaceova rovnice má tvar

,

(58)

,

,

,

,

Toto rozložení pole odpovídá poli vytvořenému v okolí dvou nabitých vodivých ploch podle Obr. 11.

Stejným způsobem lze řešit pole vytvořené např. soustavou kulových elektrod, kdy je třeba použít Laplaceův operátor v kulové souřadnicové soustavě. Z uvedených příkladů je patrné, že využitelnost této metody je jen velmi omezená.

.

(59)

Dosazením do Laplaceovy rovnice (53) dostáváme

,

.

(60)

Tato rovnice musí být splněna pro všechny hodnoty x a y v celé definiční oblast. Derivováním (60) dostáváme

,

stejně jako pro proměnnou y. Z toho plyne, že oba členy na pravé straně rovnice (60) musí být rovny konstantě, kterou nazýváme separační konstantou. Tím se nám výchozí parciální diferenciální rovnice přetransformovala na dvojici obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu pro neznámé funkce X a Y

,

(61)

kde m je tzv. separační konstanta. (61) lze přepsat do tvaru

.

(62)

Tvar řešení závisí na znaménku. V případě horního znaménka plus v (62) máme řešení ve tvaru označeném indexem m

,

(63)

.

(64)

Pro záporné znaménko dostáváme

,

(65)

.

(66)

Speciálním případem je m=0

,

(67)

.

(68)

Konstanty A_m až H musí být určeny spolu s možnými hodnotami separačních konstant m. Obecné řešení Laplaceovy rovnice (53) je dáno součtem součinů (59) pro všechny dovolené hodnoty separační konstanty m

.

(69)

Řešení Laplaceovy rovnice v třírozměrném případě je podobné

,

dosazením do (53) dostáváme

.

Každý člen v této rovnici musí být roven konstantě. Součet těchto konstant je roven nule. Máme tedy sice tři konstanty, ale jednu z nich je možné vyloučit. Podobný postup lze použít v případě válcové a kulové souřadnicové soustavy.

Nyní si popíšeme obecný postup řešení Laplaceovy rovnice pomocí metody separace proměnných. Příklad 10 >>> ukazuje tento postup pro konkrétní jednoduchou úlohu. Úkolem je nalézt rozložení potenciálu v dané oblasti obdélníkového tvaru s vodivými stěnami, kde jsou předepsány hodnoty potenciálu - hraniční podmínky. Obecně se jedná o nulové hraniční podmínky, kdy potenciál je na dané stěně nulový, a nenulové hraniční podmínky, kdy potenciál má nenulovou hodnotu. Postup řešení se skládá ze čtyř kroků:

1) Výběr funkcí X_m a Y_m: Můžeme vybrat ze dvou párů možných tvarů (63), (64) a (65), (66) spolu s případem nulové hodnoty m (67), (68). Vhodné funkce volíme na základě symetrie definiční oblasti. Je zde třeba mít určitou zkušenost. Zvolíme-li nevhodné funkce, nebudeme schopni splnit požadované hraniční podmínky, jak je ukázáno v příkladu 10 >>>. Dva možné

2) Funkce X_m a Y_m přizpůsobíme nulovým okrajovým podmínkám. Takto určíme některé z neznámých konstant, popř. separačních konstant.

3) Vytvoříme obecné řešení ve tvaru řady (69)

4) Zatím neznámé konstanty v takto utvořené řadě vypočteme pomocí nenulových okrajových podmínek. Nenulové okrajové podmínky musí být splněny pomocí výsledné řady (69), kdežto nulové okrajové podmínky, jež splňují dílčí funkce X_m, Y_m splňuje i celá řada (69).

Existuje celá řada numerických metod pro výpočet rozložení skalárního potenciálu elektrického pole. Výběr metody záleží na tom, zda se jedná o pole stacionární, či nestacionární, někdy i na tvaru oblasti, ve které rozložení pole hledáme. Zpravidla používáme profesionální programy, kterých je nabízena celá řada. Zde si vysvětlíme jen podstatu programátorsky nejjednodušší metody konečných diferencí. Uvedený postup lze samozřejmě použít i pro výpočet stacionárního magnetického pole popsaného skalárním potenciálem.

Metoda konečných diferencí se někdy také nazývá diferenční metoda. Podstatou metody je náhrada parciálních derivací podle jejich definice diferencemi. Oblast, ve které hledáme řešení obecně Poissonovy rovnice, rozdělíme vhodnou sítí. Omezíme se pro jednoduchost na dvourozměrný případ. Zvolíme pravoúhlou ekvidistanční síť s krokem h, Obr. 13. Metodu je samozřejmě možné aplikovat i pro trojrozměrné úlohy, síť může být i nerovnoměrná. Parciální derivace nahradíme ve všech uzlových bodech rozdíly neznámých hodnot potenciálu. Na příklad v bodech 2' a 4' máme

,

,

atd. Druhé derivace jsou definovány jako rozdíly derivací prvních

.

Podobně pro druhou derivaci funkce podle y

.

Po dosazení druhých derivací do Poissonovy rovnice (52) dostáváme

,

(70)

což přepsáno je

.

(71)

Rovnice (71) sestavíme pro všech N uzlových bodů sítě. S uvážením příslušných okrajových podmínek tak dostáváme N lineárních algebraických rovnic pro neznámé hodnoty potenciálu v jednotlivých uzlových bodech. Tato soustava rovnic se řeší některou z metod známých z lineární algebry. Jedná se o metodu používanou pro řešení parciálních diferenciálních rovnic všech typů. Metoda však není příliš vhodná pro oblasti s obecně zakřivenými hranicemi. Tyto hranice totiž musí být aproximovány v příslušné pravoúhlé síti. Pro složité oblasti, kde se elektrické pole mění velmi rychle, je třeba volit velmi hustou síť, dostáváme potom soustavu s velkým množstvím rovnic, která je řešitelná jen problematicky. Metoda vyžaduje dlouhé výpočetní časy a velkou paměť. Z programátorského hlediska je však metodou nejjednodušší.

Nutnost řešit velkou soustavu lineárních algebraických rovnic lze eliminovat použitím iteračního procesu. Dostáváme tak relaxační, popř. superrelaxační metodu. Laplaceův operátor vyjádříme pomocí rovnice (70). Budeme-li znát přesné hodnoty potenciálu, bude platit

.

(72)

Hodnoty potenciálu však neznáme přesně, proto je

.

(73)

Pomocí veličiny R₀, kterou nazýváme zbytek, opravíme hodnotu potenciálu v bodě 0

.

(74)

Tato nová hodnota '₀ splňuje přesně rovnost (72) v bodě 0. Ovšem tím, že jsme změnili potenciál v bodě 0, jsme porušili eventuální platnost rovnice (72) v bodech sousedních. Tento postup musí být prováděn v iterační smyčce. Zvolíme startovní hodnoty potenciálu ve všech bodech, např. jako průměrné hodnoty potenciálu všech elektrod. Postupně ve všech bodech opravujeme hodnoty potenciálu pomocí (73) a (74). Proces je ukončen, jestliže je reziduum v daném kroce menší ve všech uzlových bodech, než je dovolená přesnost. Proces je možné urychlit, opravujeme-li potenciál podle předpisu (superrelaxace)

.

(75)

V této kapitole jsme předpokládali statické náboje a studovali elektrostatické pole. Získané poznatky o tomto poli lze aplikovat i v případě časově proměnných polí, pokud je vlnová délka mnohem větší než jsou rozměry studovaného systému. To je platné při průmyslovém kmitočtu 50 Hz, kdy je vlnová délka 6000 km. Všechny výsledky lze tedy aplikovat ve výkonové elektrotechnice. Naši znalost elektrostatického pole lze aplikovat při návrhu izolací u všech druhů přístrojů, návrhu kapacitorů a přenosových vedení...

Elektrostatické síly jsou používány při separaci částic ze zplodin v komínech elektráren, a při separaci různých materiálů. Elektrostatické síly jsou použity při přenosu barviva v kopírovacích zařízeních a v tiskárnách. Některé aplikace zahrnují odstraňování náboje vzniklého třením při transportu sypkých materiálů.